有样本${\displaystyle X\in \mathcal{X}}$. 只知道${\displaystyle X}$的分布属于分布族${\displaystyle \{F_{\theta }|\theta \in \mathrm{\Theta }\}}$. ${\displaystyle {\mathrm{\Theta }}_H}$是${\displaystyle \mathrm{\Theta }}$的一个非空真子集, 则${\displaystyle H:\theta \in {\mathrm{\Theta }}_H}$(存在${\displaystyle {\theta }_0\in {\mathrm{\Theta }}_H}$, 使${\displaystyle X}$的分布为${\displaystyle F_{{\theta }_0}}$)称为一个**(原/零)假设**. 记${\displaystyle {\mathrm{\Theta }}_K=\mathrm{\Theta }-{\mathrm{\Theta }}_H}$, 则${\displaystyle K:\theta \in {\mathrm{\Theta }}_K}$称为${\displaystyle H}$的对立/备选假设.
表述$$\begin{array}{}\text{(1.1)}& H:\theta \in {\mathrm{\Theta }}_H\leftrightarrow K:\theta \in {\mathrm{\Theta }}_K\end{array}$$称为一个假设检验问题. 我们需要根据样本${\displaystyle X}$的取值选择接受或否定${\displaystyle H}$(也即接受${\displaystyle H,K}$中的一个).

(1.1) 的假设检验事实上就是寻找一个法则, 根据样本决定接受或者否定${\displaystyle H}$. 因此可以把${\displaystyle \mathcal{X}}$分解为互不相交的${\displaystyle {\mathcal{X}}_1,{\mathcal{X}}_2}$, 样本属于${\displaystyle {\mathcal{X}}_1}$时接受${\displaystyle H}$, 属于${\displaystyle {\mathcal{X}}_2}$时否定${\displaystyle H}$. 因此${\displaystyle {\mathcal{X}}_2}$称为检验的否定域; ${\displaystyle {\mathcal{X}}_1}$称为接受域.
进一步推广为: 检验是函数${\displaystyle \phi :\mathcal{X}\to [0,1]}$. ${\displaystyle \phi }$表示有了样本${\displaystyle x}$后否定${\displaystyle H}$的概率, 称为检验函数. 如果${\displaystyle \phi (x)=1}$, 否定${\displaystyle H}$; ${\displaystyle \phi (x)=0}$, 接受${\displaystyle H}$; ${\displaystyle 0<\phi (x)<1}$, 安排随机试验, 使其中某个事件${\displaystyle A}$的概率为${\displaystyle \phi (x)}$, 看${\displaystyle A}$是否发生.

• 如果${\displaystyle \phi }$取值只有${\displaystyle 0,1}$, 称为非随机检验, 否定域就是${\displaystyle \{x|\phi (x)=1\}}$.
• 否则存在${\displaystyle \phi (x)\in (0,1)}$, 称为随机检验, 在实际中不常用.

设${\displaystyle \phi }$是检验 (1.1) 的一个检验函数, 称$$\begin{array}{}\text{(3.1)}& {\beta }_{\phi }(\theta )=P_{\theta }(\phi \text{否定}H)=E_{\theta }(\phi (X)),\theta \in \mathrm{\Theta }\end{array}$$称为${\displaystyle \phi }$的功效函数.
如果${\displaystyle \phi }$为非随机检验, 否定域为${\displaystyle {\mathcal{X}}_2}$, 则$${\beta }_{\phi }(\theta )=P_{\theta }(X\in {\mathcal{X}}_2).$$

${\displaystyle \phi }$犯第一类错误的概率如果总不超过${\displaystyle \alpha }$(${\displaystyle \mathrm{\forall }\theta \in \mathrm{\Theta }}$), 则称${\displaystyle \alpha }$是检验${\displaystyle \phi }$的一个水平, ${\displaystyle \phi }$称为水平${\displaystyle \alpha }$检验.